题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠C = 90°,以AC为直径的OAB于点D,连接ODEBC上, B E=DE

1)求证:DE是⊙O的切线;

2)若BC=6,求线段DE的长;

3)若∠B=30°,AB =8,求阴影部分的面积(结果保留).

【答案】1)详见解析;(23;(3

【解析】

1)根据OA=ODBE=DE,得∠A=1,∠B=2,根据∠ACB=90°,即可得∠1+2=90°,即可得ODDE,从而可证明结论;

2)连接CD,根据现有条件推出CE是⊙O的切线,再结合DE是⊙O的切线,推出DECEBE=DE,即可得出DE

3)过OOGAD,垂足为G,根据已知条件推出ADAGOG的值,再根据,即可得出答案.

解:(1)证明:∵OA=ODBE=DE

∴∠A=1,∠B=2

∵△ABC中,∠ACB=90°

∴∠A+B=90°

∴∠1+2=90°

∴∠ODE=180°-(1+2)=90°

ODDE,又ODO的半径

DE是⊙O的切线;

2)连接CD,则∠ADC=90°

∵∠ACB=90°

ACBC,又ACO的直径,

CE是⊙O的切线,又DE是⊙O的切线,

DECEBE=DE

DECE=BE

3)过OOGAD,垂足为G,则

RtABCB=30°AB=8

AC==60°(又OA=OD),

∴∠COD=120°,△AOD为等边三角形

AD=AO=OD=2

OG

∴阴影部分的面积为

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