题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠C = 90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接OD,点E在BC上, B E=DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若BC=6,求线段DE的长;
(3)若∠B=30°,AB =8,求阴影部分的面积(结果保留).
【答案】(1)详见解析;(2)3;(3)
【解析】
(1)根据OA=OD,BE=DE,得∠A=∠1,∠B=∠2,根据∠ACB=90°,即可得∠1+∠2=90°,即可得OD⊥DE,从而可证明结论;
(2)连接CD,根据现有条件推出CE是⊙O的切线,再结合DE是⊙O的切线,推出DE=CE又BE=DE,即可得出DE;
(3)过O作OG⊥AD,垂足为G,根据已知条件推出AD,AG和OG的值,再根据,即可得出答案.
解:(1)证明:∵OA=OD,BE=DE,
∴∠A=∠1,∠B=∠2,
∵△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠ODE=180°-(∠1+∠2)=90°,
∴OD⊥DE,又OD为⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线;
(2)连接CD,则∠ADC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,又AC为⊙O的直径,
∴CE是⊙O的切线,又DE是⊙O的切线,
∴DE=CE又BE=DE,
∴DE=CE=BE=;
(3)过O作OG⊥AD,垂足为G,则,
∵Rt△ABC中,∠B=30°,AB=8,
∴AC=,∠A=60°(又OA=OD),
∴∠COD=120°,△AOD为等边三角形,
∴AD=AO=OD=2,
∴,
∴OG,
∴,
∴阴影部分的面积为.

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