Question

17．有一列数a₁，a₂，a₃，…，a_n，满足下列条件：a₁=0，|a₂|=|a₁+1|，|a₃|=|a₂+1|，…，|a_n|=|a_n-1+1|．求证：a₁，a₂，a₃，…，a_n这n个数的算术平均数不小于$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先把|a₂|=|a₁+1|，|a₃|=|a₂+1|，…，|a_n|=|a_n-1+1|两边平方，再相加整理得出答案即可．

解答 证明：∵a₁=0，|a₂|=|a₁+1|，|a₃|=|a₂+1|，…，|a_n|=|a_n-1+1|，
∴a₁²=0，a₂²=（a₁+1）²，a₃²=（a₂+1）²，…，a_n²=（a_n-1+1）²，
即a₁²=0，a₂²=a₁²+2a₁+1，a₃²=a₂²+2a₂+1，…，a_n²=a_n-1²+2a_n-1+1，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=a₁²+2a₁+1+a₂²+2a₂+1+…+a_n-1²+2a_n-1+1，
∴2（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=a_n²-n≥-n，
∴$\frac{1}{n}$（a₁+a₂+a₃+…+a_n）≥$-\frac{1}{2}$，
即a₁，a₂，a₃，…，a_n这n个数的算术平均数不小于$-\frac{1}{2}$．

点评 此题考查算术平方数，掌握恒等变形与求算术平均数的方法是解决问题的关键．