Question

如图，以△ABC是等腰三角形，AB=AC，作圆交BC于D点，交AC于E点，BD=DE．
（1）求证：AB是⊙O的直径．
（2）若E是AC的中点，求的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AD，根据相同的弦所对的圆周角相等，得到∠BAD=∠CAD，根据三线合一判断出AD为BC边上的高，求出∠ADB=90°，判断出AB为⊙O直径；
（2）由E是AC的中点，得DE为斜边AC上的中线，即有DE=AE，而BD=DE，所以==而它们的和为半圆，即可求出的度数．
解答：解：（1）如图：连接AD，
∵BD=DE，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴AD为BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴AB为⊙O直径；
（2）解：∵AD⊥BC，即△ADC为直角三角形，
而E是AC中点，即DE为斜边AC上的中线，
∴DE=AE，
而BD=DE，
∴==，
又∵AB是直径，
∴的度数为×180°=60°．
点评：本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，作出辅助线AD是解题的关键．