Question

24、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）试说明：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是以OD为底边的等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由旋转的性质可知CO=CD，∠OCD=60°，可判断：△COD是等边三角形；
（2）由（1）可知∠COD=60°，当α=150°时，∠ADO=∠ADC-∠CDO，可判断△AOD为直角三角形；
（3）当△AOD是以OD为底边的等腰三角形时，∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°，根据∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，列方程求α．

解答：解：（1）由旋转可知：△ADC≌△BOC，∠OCD=60°
∴OC=OD
则△COD是等边三角形；

（2）△AOD为直角三角形．
∵△COD是等边三角形．
∴∠ODC=60°，
∵∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，于是△AOD是直角三角形．

（3）α=125°．
理由：∵△AOD是以OD为底边的等腰三角形，
∴∠AOD=∠ADO=∠ADC-60°=α-60°．
∵110°+α+（60°+∠AOD）=360°，
解得α=125°．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是利用旋转前后，对应边相等，对应角相等解题．