Question

已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF．

(1)如图，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；

(2)如图，当△ABC中只有∠ACB＝60°时，请你证明S_△ABC与S_△ABD的和等于S_△BCE与S_△ACE的和．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)略．每正确地写出一个结论得1分，共4分．

　　(2)

　　解：过A作AM∥FC交BC于M，连结DM、EM．

　　因为∠ACB＝60°，∠CAF＝60°，

　　所以∠ACB＝∠CAF．

　　所以AF∥MC．

　　所以四边形AMCF为平行四边形．

　　又因为FA＝FC，所以AMCF为菱形．

　　所以AC＝CM＝AM，且∠MAC＝60°．

　　在△BAC与△EMC中，CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，

　　所以△BAC≌△EMC．

　　所以BA＝EM．

　　在△ADM与△ABC中，AM＝AC，∠DAM＝∠BAC，DA＝BA，

　　所以△ADM≌△ABC．

　　所以DM＝BC．

　　则DM＝EB，DB＝EM．

　　所以四边形DBEM为平行四边形．

　　所以S_△BDM＋S_△DAM＋S_△MAC＝S_△BEM＋S_△EMC＋S_△ACF．

　　即S_△ABC＋S_△ABD＝S_△BCE＋S_△ACF．