Question

16．如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（$\sqrt{3}$，0），连接AB，若对于平面内一点C，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB的“等长点”．
（1）在点C₁（-2，3+2$\sqrt{2}$），点C₂（0，-2），点C₃（3+$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）中，线段AB的“等长点”是点C₁，C₃；
（2）若点D（m，n）是线段AB的“等长点”，且∠DAB=60°，求m和n的值；
（3）若直线y=kx+3$\sqrt{3}$k上至少存在一个线段AB的“等长点”，直接写出k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用线段AB的“等长点”的条件判断；
（2）分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n；
（3）先判断出直线y=kx+3$\sqrt{3}$与圆A，B相切时，如图2所示，利用相似三角形的性质即可求出结论．

解答 解：（1）∵A（0，3），B（$\sqrt{3}$，0），
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵点C₁（-2，3+2$\sqrt{2}$），
∴AC₁=$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC₁=AB，
∴C₁是线段AB的“等长点”，

∵点C₂（0，-2），
∴AC₂=5，BC₂=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$，
∴AC₂≠AB，BC₂≠AB，
∴C₂不是线段AB的“等长点”，

∵点C₃（3+$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
∴BC₃=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，
∴BC₃=AB，
∴C₃是线段AB的“等长点”；
故答案为：C₁，C₃；

（2）如图1，在Rt△AOB中，OA=3，OB=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
当点D在y轴左侧时，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAO=∠DAB-∠BAO=30°，
∵点D（m，n）是线段AB的“等长点”，
∴AD=AB，
∴D（-$\sqrt{3}$，0），
∴m=$\sqrt{3}$，n=0，
当点D在y轴右侧时，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAO=∠BAO+∠DAB=90°，
∴n=3，
∵点D（m，n）是线段AB的“等长点”，
∴AD=AB=2$\sqrt{3}$，
∴m=2$\sqrt{3}$；

（3）如图2，∵直线y=kx+3$\sqrt{3}$k=k（x+3$\sqrt{3}$），
∴直线y=kx+3$\sqrt{3}$k恒过一点P（-3$\sqrt{3}$，0），
∴在Rt△AOP中，OA=3，OP=3$\sqrt{3}$，
∴∠APO=30°，
∴∠OPA=60°，
∴∠BAP=90°，
当PF与⊙B相切时交y轴于F，
∴PA切⊙B于A，
∴点F就是直线y=kx+3$\sqrt{3}$k与⊙B的切点，
∴F（0，-3），
∴3$\sqrt{3}$k=-3，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当直线y=kx+3$\sqrt{3}$k与⊙A相切时交y轴于G切点为E，∴∠AEG=∠OPG=90°，
∴△AEG∽△POG，
∴$\frac{AE}{OP}=\frac{AG}{PG}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}k-3}{3\sqrt{{k}^{2}+3}}$，
∴k=$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{5}$（舍）或k=$\frac{3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{5}$，
∵直线y=kx+3$\sqrt{3}$k上至少存在一个线段AB的“等长点”，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{5}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，对称性，解（1）的关键是理解新定义，解（2）的关键是画出图形，解（3）的关键是判断出直线和圆A，B相切时是分界点，是一道中等难度的中考常考题．