Question

3．如图，在△ABC中，BC=4cm，过点A作射线AD∥BC，点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以1cm/s速度运动，连结EF交AB于点G，设点E运动时间为t（s）．
（1）求证：AG=BG；
（2）求AE+CF的长（用含t的代数式表示）；
（3）设△ABC的面积为a，直接写出当CF=2时△AEG的面积（用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠A=∠B，再有运动得出AE=BF，即可得出结论；
（2）先得出AE=BF，再分点F在线段BC和BC的延长线上，用线段的和差即可得出结论；
（3）先求出MG=$\frac{1}{4}$a，再分点F在线段BC和BC的延长线上，用线段的和差求出BF，即可求出AE，最后用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：∵AD∥BC，
∴∠A=∠B，
由运动知，AE=t，BF=t，
∴AE=BF，
在△AEG和△BFG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠BGF}\\{∠A=∠B}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△BFG，
∴AG=BG；
（2）由（1）知，△AEG≌△BFG，
∴AE=BF，当点F在线段BC上时，AE+CF=BF+CF=BC=4cm；
当点F在线段BC的延长线上时，AE+CF=BF+CF=t+t-4=2t-4；
（3）如图，过点G作MN⊥BC，

由（1）知，△AEG≌△BFG，
∴AE=BF，GM=GN=$\frac{1}{2}$MN．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$CB•MN=a，
∴MN=$\frac{2a}{BC}$=$\frac{1}{2}$a，
∴MG=$\frac{1}{4}$a，
当点F在线段BC上时，BF=BC-CF=4-2=2，
∴AE=2，
∴S_△AEG=$\frac{1}{2}$AE•MG=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{4}$a=$\frac{1}{4}$a，
当点F在BC延长线上时，BF=BC+CF=4+2=6，
∴AE=6，
∴S_△AEG=$\frac{1}{2}$AE•MG=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{1}{4}$a=$\frac{3}{4}$a．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，还用到分类讨论的数学思想，解不同的关键是判断出AE=BF，是一道基础题目．