Question

10．如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点；
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）若AB=$\frac{1}{2}$，求菱形BDEF的周长．

Answer 1

分析 （1）由D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF∥BC，ED∥AB，EF=$\frac{1}{2}$BC，DE=$\frac{1}{2}$AB，又由AB=BC，即可证得四边形BDEF是菱形；
（2）由三角形中位线的性质，可求得DE的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点，
∴EF∥BC，ED∥AB，EF=$\frac{1}{2}$BC，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵AB=BC，
∴EF=DE，
∴四边形BDEF是菱形；

（2）解：∵AB=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{4}$，
∴菱形BDEF的周长为：4DE=4×$\frac{1}{4}$=1．

点评 此题考查了菱形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形中位线定理的应用是解此题的关键．