Question

你能比较两个数2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n≥1且n为整数）：然后从分析n=1，n=2，n=3…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳、总结，最后猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组数的大小（在横线处填上“＞”、“=”或“＜”）：
①1²

 

2¹；②2³

 

3²；③3⁴

 

4³；④4⁵

 

5⁴；
⑤5⁶

 

6⁵；⑥6⁷

 

7⁶；⑦7⁸

 

8⁷…
（2）由第（1）小题的结果归纳、猜想nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小关系．
（3）根据第（2）小题得到的一般结论，可以得到2010²⁰¹¹

 

2011²⁰¹⁰（填“＞”、“=”或“＜”）．

Answer 1

考点：幂的乘方与积的乘方

专题：阅读型,规律型

分析：（1）先通过计算比较（1）中的数据大小．
（2）从（1）中通过归纳可以得出nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小关系是当n=1或n=2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n≥3时，n ⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）直接利用（2）中结论得出（3）中的答案即可．

解答：解：（1）①1²＜2¹；②2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴；⑤5⁶＞6 ⁵⑥6⁷＞7⁶；⑦7⁸＞8⁷；
故答案为：＜，＜，＞，＞，＞，＞，＞；

（2）由（1）可知，当n=1、2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2010＞3，2011＞3，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
故答案为：＞．

点评：本题考查的是幂的乘方与积的乘方，解题关键是会从材料中找到数据之间的关系，并利用数据之间的规律总结出一般结论，然后利用结论直接进行解题．