Question

5．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点D，E分别在AB，BC上，且∠CDE=90°．当BE=2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．
小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将解决问题．

请回答：
（1）小明发现的与CD相等的线段是DE．
（2）证明小明发现的结论；
参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（3）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，BD=2DC，点E在AD上，且∠BEC=135°，求$\frac{BE}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接写出答案；
（2）先判断出∠ADC=ADC=∠FEDFED，在判断出FE=AD，即可判断出△FEDFED≌△ADCADC即可；
（3）先判断出∠FBE=FBE=∠GECGEC，进而得出△BFEBFE∽△EGC，得出$\frac{BE}{CE}=\frac{BF}{EG}=\frac{FE}{GC}$，再判断出FE=2EG，即可得出结论．

解答 解：（1）DE；
故答案为：DE；
（2）证明：作EF⊥AB，垂足为F．
则∠BFE=∠DFE=90°═∠A═∠CDE．
∵∠ADC+∠CDE=∠ADE=∠DFE+∠FED，
∴∠ADC=∠FED．
∵∠BFE=90°，∠B=30°，
∴BE=2FE．
∵BE=2AD，
∴FE=AD．
在△FED和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FED=∠ADC}\\{∠DFE=∠CAD}\\{FE=AD}\end{array}\right.$
∴△FED≌△ADC．
∴DE=CD
（3）如图3，

过点E作BC的平行线，与AB、AC分别相交于点F、G．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵FG∥BC，
∴∠AFG=∠ABC=∠ACB=∠AGF=45°，∠BFE=135°=∠EGC．
∴AF=AG．BF=GC．
∵∠GEC+∠CEB=∠GEB=∠EFB+∠FBE，
∴∠FBE=∠GEC
∴△BFE∽△EGC．
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{BF}{EG}=\frac{FE}{GC}$，
∵FG∥BC，
∴△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC，
∴$\frac{FE}{BD}=\frac{AE}{AD}$，$\frac{AE}{AD}=\frac{EG}{DC}$，
∴$\frac{FE}{BD}=\frac{EG}{DC}$
∵BD=2DC，
∴FE=2EG，
∴$\frac{BF}{EG}=\frac{EF}{CG}=\frac{2EG}{BF}$，
∴$\frac{BF}{EG}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{BF}{EG}=\sqrt{2}$

点评 此题是三角形综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是得出FE=2EG，是一道比较简单的中考常考题．