Question

11．如图，已知点E是矩形一边AD上的一点，沿CE折叠矩形使点D落在对角线AC上的点F处，点G为BC上一点，且CG=DE，连FG．
（1）求证：FG∥EC；
（2）若∠DAC=30°，CD=4，求四边形EFGC的面积．

Answer 1

分析 （1）作FN∥AD交EC于N，根据翻折变换的性质证明四边形EFGC是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可；
（2）作FM⊥BC于M，根据直角三角形的性质和翻折变换的性质分别求出△EFC的面积和△GFC的面积即可．

解答 （1）证明：作FN∥AD交EC于N，
则FN∥BC，∠DEC=∠ENF，
由折叠的性质可知，∠DEC=∠FEN，FE=DE，
∴∠FEN=∠FNE，
∴FE=FN，又CG=DE，
∴FN=CG，又FN∥BC，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴FG∥EC；
（2）作FM⊥BC于M，
∵∠DAC=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCE=∠FCE=30°，又CD=4，
∴DE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△EFC的面积=△EDC的面积=$\frac{1}{2}×$4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵∠ACB=90°-∠ACD=30°，
∴FM=$\frac{1}{2}$FC=2，
∴△FGC的面积=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴四边形EFGC的面积=△EFC的面积+△GFC的面积=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是翻折变换和平行四边形的判定，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．