题目内容
18．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；
（2）在图1中，当∠PAB＜45°时，∠BEF是否为定值？如果是求其度数；如果不是，说明理由．
（3）在图2中，若45°＜∠PAB＜90°，请直接在图中补全图形，∠BEF的度数是否会发生变化？若会发生变化，说明如何变化；若不会，说明理由．
分析 （1）在等腰三角形ABE中求得∠EAB的度数，在等腰三角形EAD中求得∠EAD的度数，即可得到∠ADF的度数；
（2）先设∠PAB=α，根据等腰三角形的性质，求得∠AEB和∠AED的度数，根据∠BEF=∠AEB-∠AED即可得到∠BEF为定值；
（3）先设∠PAB=β，根据等腰三角形的性质，求得∠AEB和∠AED的度数，根据∠BEF=∠AED+∠AEB即可得到∠BEF为定值．
解答 解：（1）∵点B关于直线AP的对称点为E，∠PAB=20°，
∴AE=AB，∠EAB=40°，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴AE=AD，∠EAD=130°，
∴等腰三角形AED中，∠ADF=25°；
（2）如图1，设∠PAB=α，则∠EAB=2α，
∴∠AEB=90°-α，∠AED=$\frac{180°-（90°+2α）}{2}$=45°-α，
∴∠BEF=∠AEB-∠AED=90°-α-（45°-α）=45°；
（3）如图所示，∠BEF的度数不会发生变化，仍为45°
设∠PAB=β，
同理可得，∠EAB=2β，∠AEB=90°-β，
∴∠EAD=360°-90°-2β=270°-2β，
∴等腰三角形ADE中，∠AED=$\frac{180°-（270°-2β）}{2}$=β-45°，
∴∠BEF=∠AED+∠AEB=β-45°+90°-β=45°（定值）．
点评 本题主要考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是根据等腰三角形的性质求得其底角或顶角的度数，再根据角的和差关系得出结论．解题时注意，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
练习册系列答案
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