阅读资料:如图1.在平面直角坐标系xOy中.A.B两点的坐标分别为A(x1.y1).B(x2.y2).由勾股定理得AB2=${{|x} {2}{-x} {1}|}^{2}$+${{|y} {2}{-y} {1}|}^{2}$.所以A.B两点间的距离为AB=$\sqrt{{{}^{2}{+{}^{2}}$．我们知道.圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合.如图2.在平面直角坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．阅读资料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB²=${{|x}_{2}{-x}_{1}|}^{2}$+${{|y}_{2}{-y}_{1}|}^{2}$，所以A，B两点间的距离为AB=$\sqrt{{{（x}_{2}{-x}_{1}）}^{2}{+{（y}_{2}{-y}_{1}）}^{2}}$．
我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA²=|x-0|²+|y-0|²，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r²．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为（x-a）²+（y-b）²=r²．
综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，3），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=$\frac{3}{4}$，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．问：是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．

分析（1）问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程；
（2）综合应用：先判断出∠PAB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等得出∠OBP=∠PAO=∠POA，则有tan∠OBP=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{3}{4}$．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QE⊥OB于E，得出QE是△POB的中位线即可得出结论．

解答解：（1）问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，
∵P（a，b），半径为r，
∴AP²=（x-a）²+（y-b）²=r²．
故答案为（x-a）²+（y-b）²=r²；

（2）综合应用：
如图，

假设存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q，
即：点O，P，A，B四点在⊙Q上，
∴OQ=OP=OB
∵⊙P与x轴相切于原点O，
∴PO=PA，∠POB=90°，
∴PB是⊙Q的直径，
∴∠PAB=90°
在⊙P中，PO=PA，
∴∠POA=∠PAO，
∵点O，P，A，B在⊙Q上，
∴∠PBO=∠PAB，
∴∠PBO=∠POA，
∵tan∠POA=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠PBO=$\frac{3}{4}$，
∵P（0，3），
∴OP=3，
在Rt△POB中，OP=3，tan∠PBO=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{3}{4}$，
∴OB=4，PB=5，
∴OQ=BQ=PQ=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{5}{2}$，
过点Q作QE⊥OB于E，
∴QE∥OP，
∵PB是⊙Q的直径，
∴PQ=BQ，
∴QE是△POB的中位线，
∴QE=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{3}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴Q（$\frac{3}{2}$，2），
∵OQ=$\frac{5}{2}$，
∴以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程为（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-2）²=$\frac{25}{4}$．