Question

5．如图，在△ABC中，∠B=45°，AD⊥BC于点D，以D为圆心DC为半径作⊙D交AD于点G，过点G作⊙D的切线交AB于点F，且F恰好为AB中点．
（1）求tan∠ACD的值．
（2）连结CG并延长交AB于点H，若AH=2，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明AD=2CD即可解决问题；
（2）只要证明：△ADB，△CGD，△AGH都是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质即可解决问题；

解答 解：（1）∵FG与⊙D相切，
∴∠DGF=90°，
∵AD⊥BC
∴FG∥CB，
∵F为AB中点，
∴$\frac{GD}{AD}$=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2GD=2CD，
∴tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$=2．

（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠DAB=45°
∵GD=CD，∠GDC=90°，
∴△CGD是等腰直角三角形，
∴∠GCD=45°
∴∠AHC=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∵AH=2，
∴HG=2，AG=2$\sqrt{2}$．
∴GD=2$\sqrt{2}$，
∴CG=4，
∴HC=6，
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查切线的性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．