Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证△ADF∽△ABC可得DF=$\frac{16}{3}$，据此得出EF=DF-DE=$\frac{10}{3}$．

解答 解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，

∵EF∥BC、∠ABC=90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠HAE}\\{AE=AE}\\{∠ADE=∠AHE}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△HAE（SAS），
∴AD=AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG=CH，
设BD=BG=x，则AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴6-x+8-x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=2，AD=4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DF}{BC}$，即$\frac{4}{6}$=$\frac{DF}{8}$，
解得：DF=$\frac{16}{3}$，
则EF=DF-DE=$\frac{16}{3}$-2=$\frac{10}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．