Question

5．认真阅读以下材料，并解答问题：
材料：（1）配方：利用完全平方公式，把二次三项式写成（a-k）²+h的形式．
例：x²-2x=x²-2•1•x+1²-1²=（x-1）²-1
（2）利用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0）
问题：（1）把多项式直接写成（a-k）²+h的形式：x²-6x-3=（x-3）²-12
（2）用配方法解方程：x²+6x+8=0．

Answer 1

分析 材料：（2）把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方的形式，如果右边的式子为非负数，就可以两边直接开平方求出方程的根．
问题：（1）根据配方法的步骤，直接配方即可；
（2）先移项，再进行配方，然后进行计算即可．

解答 解：∵a≠0，
∴两边同时除以a得：x²+$\frac{b}{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，
x²+$\frac{b}{a}$x=-$\frac{c}{a}$，
x²+$\frac{b}{a}$x+$\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{c}{a}$，
（x+$\frac{b}{2a}$）²=$\frac{{b}^{2}-4ac}{4{a}^{2}}$，
∵a≠0，
∴4a²＞0，
当b²-4ac≥0时，两边直接开平方有：
x+$\frac{b}{2a}$=±$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
x=--$\frac{b}{2a}$±$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
∴x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$；
当b²-4ac＜0时，此方程无实数根．
问题：（1）x²-6x-3=x²-2•3x+3²-3²-3=（x-3）²-12，
故答案为（x-3）²-12；
（2）解方程：x²+6x+8=0．
x²+6x=-8
x²+6x+9=9-8
（x+3）²=1
∴x+3=±1，
∴x₁=-2，x₂=-4．

点评 此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．