请阅读下列材料:问题:已知方程x2+x-1=0.求一个一元二次方程.使它的根分别是已知方程根的2倍．解:设所求方程的根为y.则y=2x.所以x=$\frac{y}{2}$．把x=$\frac{y}{2}$代入已知方程.得2+$\frac{y}{2}$-1=0．化简.得y2+2y-4=0故所求方程为y2+2y-4=0．这种利用方程的代换求新方程的方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．请阅读下列材料：
问题：已知方程x²+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=$\frac{y}{2}$．
把x=$\frac{y}{2}$代入已知方程，得（$\frac{y}{2}$）²+$\frac{y}{2}$-1=0．
化简，得y²+2y-4=0
故所求方程为y²+2y-4=0．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程x²+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：y²-y-2=0．
（2）已知方程2x²-7x+3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
（3）已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为3，-2，求一元二次方程cx²+bx+a=0的两根．（直接写出结果）

分析（1）根据题意，设所求方程的根是y，则y=-x，所以x=-y，然后把x=-y代入原方程，化简可求；
（2）根据题意，设所求方程的根是y，则y=$\frac{1}{x}$，所以x=$\frac{1}{y}$，然后把x=$\frac{1}{y}$代入原方程，化简可求；
（3）由（2）可知，对方程cx²+bx+a=0两边同时除以x²，得a（$\frac{1}{x}$）²-7•$\frac{1}{x}$+c=0，则方程cx²+bx+a=0的两根是ax²+bx+c=0（a≠0）两根的倒数，进而求解．

解答解：（1）设所求方程的根是y，则y=-x，所以x=-y，
把x=-y代入x²+x-2=0，得y²-y-2=0，
故答案是y²-y-2=0．
故答案为y²-y-2=0；

（2）设所求方程的根是y，则y=$\frac{1}{x}$，所以x=$\frac{1}{y}$，
把x=$\frac{1}{y}$代入方程2x²-7x+3=0，得2（$\frac{1}{y}$）²-7•$\frac{1}{y}$+3=0，
化简，得3y²-7y+2=0；

（3）由（2）可知，对方程cx²+bx+a=0两边同时除以x²，
得a（$\frac{1}{x}$）²-7•$\frac{1}{x}$+c=0，
则方程cx²+bx+a=0的两根是ax²+bx+c=0（a≠0）两根的倒数，
所以方程cx²+bx+a=0的两根分别是$\frac{1}{3}$、-$\frac{1}{2}$．