Question

20．关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）如果等腰三角形ABC的两边是这个方程的两根，且腰长是7，求这个三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）利用判别式的意义得到△=4（m+1）²-4（m²+5）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用等腰三角形的性质得到方程的一个解为7，把x=7代入x²-2（m+1）x+m²+5=0得m₁=10，m₂=4，讨论：当m=10时，方程化为x²-22x+105=0；当m=4时，方程化为x²-10x+21=0，然后分别解方程后利用三角形三边的关系确定三角形三边，最后就是三角形的周长．

解答 解：（1）根据题意得△=4（m+1）²-4（m²+5）≥0，
解得m≥2；
（2）把x=7代入x²-2（m+1）x+m²+5=0得49-2（m+1）+m²+5=0，解得m₁=10，m₂=4，
当m=10时，方程化为x²-22x+105=0，解得x₁=7，x₂=15，而7+7＜15，故舍去；
当m=4时，方程化为x²-10x+21=0，解得x₁=7，x₂=3，此时三角形周长为3+7+7=17．
所以三角形的周长为17．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．