在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AB=10.BC=8.点D.E分别是边AC.AB上的任意一点.把△ADE沿直线DE折叠.点A的对应点是A1．(1)如图①.若A1是BC边的中点.求CD的长．(2)如图②.若CD=$\frac{9}{4}$.点A1在BC边上．求证:四边形ADA1E是菱形．(3)若点A1落在BC的下方.A1D.A1E与BC边分别相交于点M.N．①如图③.当△A1MN是等腰三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D、E分别是边AC、AB上的任意一点，把△ADE沿直线DE折叠，点A的对应点是A₁．
（1）如图①，若A₁是BC边的中点，求CD的长．
（2）如图②，若CD=$\frac{9}{4}$，点A₁在BC边上．求证：四边形ADA₁E是菱形．
（3）若点A₁落在BC的下方，A₁D、A₁E与BC边分别相交于点M、N．
①如图③，当△A₁MN是等腰三角形（A₁M=A₁N），求tan∠CDM的值；
②是否还有△A₁MN是等腰三角形的其他情形？若存在，直接写出tan∠CDM的值．

分析（1）在Rt△A₁CD中，根据勾股定理得：x²+4²=（6-x）²，求x的值，得CD的长；
（2）如图②，由折叠得：A₁D=AD=$\frac{15}{4}$，利用勾股定理得：A₁C=$\sqrt{（\frac{15}{4}）^{2}-（\frac{9}{4}）^{2}}$=3，证明△CA₁D∽△CBA，利用对应角相等和平行线的判定先证明四边形ADA₁E是平行四边形，再加上一组邻边相等可得结论；
（3）①如图③，作辅助线构建角平分线，求PQ和AQ的长，根据同角的三角函数可得：tan∠CDM=tan∠CAP=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$；
②当A₁N=MN时，tan∠CDM=$\frac{3}{4}$；当A₁M=MN时，tan∠CDM=$\frac{7}{24}$．

解答解：（1）如图①，在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
设CD=x，则A₁D=AD=6-x，又A₁C=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△A₁CD中有x²+4²=（6-x）²，
解得：x=$\frac{5}{3}$，
∴CD=$\frac{5}{3}$；
（2）如图②，在Rt△A₁CD中，A₁D=AD=6-$\frac{9}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴A₁C=$\sqrt{（\frac{15}{4}）^{2}-（\frac{9}{4}）^{2}}$=3，
由$\frac{CD}{CA}=\frac{3}{8}=\frac{C{A}_{1}}{CB}$，
∵∠C=∠C，
∴△CA₁D∽△CBA，
∴∠CA₁D=∠B，
∴A₁D∥BA，
∵∠EA₁C=∠EA₁D+∠DA₁C=∠A+∠B=90°，
∴EA₁∥AD，
∴四边形ADA₁E是平行四边形，
∵A₁D=AD，
∴?ADA₁E是菱形；
（3）①如图③，当A₁M=A₁N时，过点A₁作A₁H⊥BC，
由折叠得：∠BAC=∠DA₁E，
∵AC∥A₁H，
则∠CDM=∠MA₁H=$\frac{1}{2}$∠BAC，
作∠CAB的平分线AP交CB于点P，过P作PQ⊥AB于点Q，则CP=PQ，
设CP=y，
在Rt△PQB中，有y²+4²=（8-y）²，
解得：y=3，
∴tan∠CDM=tan∠CAP=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$；
②当A₁N=MN时，如图④，
∴∠A₁MN=∠A₁，
∵∠A=∠A₁，∠CMD=∠A₁MN，
∴∠A=∠CMD，
∵tan∠A=$\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠CMD=$\frac{CD}{CM}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠CDM=$\frac{3}{4}$；
当A₁M=MN时，如图④，
∴∠MA₁N=∠MNA₁=∠A，
过A₁作A₁H⊥BC于H，
tan∠A=tan∠MNA₁=$\frac{4}{3}$=$\frac{{A}_{1}H}{HN}$，
设A₁H=4x，HN=3x，A₁M=MN=a，MH=a-3x，
在Rt△MA₁H中，a²-（a-3x）²=（4x）²，
a=$\frac{5}{6}$x，
∵CD∥A₁H，
∴∠CDM=∠MA₁H，
tan∠CDM=tan∠MA₁H=$\frac{MH}{AH}$=$\frac{\frac{25}{6}x-3x}{4x}$，
∴tan∠CDM=$\frac{7}{24}$．
则tan∠CDM的值是$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{4}$或$\frac{7}{24}$．

点评本题是四边形的综合题，考查了三角函数、菱形的性质和判定、翻折的性质、三角形相似的性质和判定，本题设未知数，多次运用勾股定理列方程，求解即可；第3问有难度，分类讨论，分别以一边为腰，利用三角函数列等式，解决问题．

	A．	俯视图与主视图相同		B．	左视图与主视图相同
	C．	左视图与俯视图相同		D．	三个视图都相同

试题分类