Question

9．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
（1）如图1，当∠ACD=45°时，求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OD，欲证明ED是切线，只要证明∠EDO=90°即可．
（2）如图2中，连接BC，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．

解答 （1）证明：如图1中，连接OD．
∵∠C=45°，
∴∠AOD=2∠C=90°，
∵ED∥AB，
∴∠AOD+∠EDO=180°，
∴∠EDO=90°，
∴ED⊥OD，
∴ED是⊙O切线．
（2）解：如图2中，连接BC，
∵CF=DF，
∴AF⊥CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵AB∥ED，
∴ED⊥DC，
∴∠EDC=90°，
在RT△ACB中，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=2，
∴BC=1，AC=$\sqrt{3}$，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CD=2CF=$\sqrt{3}$，
在RT△ECD中，
∵∠EDC=90°，CD=$\sqrt{3}$，∠E=∠CAB=30°，
∴EC=2CD=2$\sqrt{3}$，ED=$\sqrt{E{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3，
∴S_△ECD=$\frac{1}{2}$•ED•CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，属于基础题，中考常考题型．