Question

17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，如果用（1，0）表示C点的位置，用（4，1）表示B点的位置，那么．
（1）画出直角坐标系；
（2）画出与△ABC关于x轴对称的图形△DEF；
（3）P为x轴上的一个动点，是否存在P使PA+PB的值最小？若不存在，请说明理由；若存在请求出点P的坐标和PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据C点坐标可确定原点位置，然后可画出坐标系；
（2）首先确定A、B、C三点关于x轴对称的对称点位置，然后连接即可；
（3）连接BD交x轴于点P，连接PA，设直线BD的表达式为y=kx+b，利用待定系数法确定解析式，然后根据解析式确定P点坐标，再利用勾股定理计算出BD的长．

解答 解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）存在，连接BD交x轴于点P，连接PA，由对称可知D（0，-2），
设直线BD的表达式为y=kx+b，则有b=-2，4k+b=1，
解得：k=$\frac{3}{4}$，b=-2，
所以直线BD的表达式为y=$\frac{3}{4}$x-2，
当y=0时，有$\frac{3}{4}$x-2=0，
解得x=$\frac{8}{3}$，
所以P（$\frac{8}{3}$，0），
由对称可知PA=PD，所以PA+PB=PD+PB=DB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

点评 此题主要考查了作图--轴对称变换，以及最短路线，关键是正确确定A、B、C三点关于x轴对称的对称点位置．