题目内容
8．
如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，-$\frac{3}{2}$），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）把抛物线解析整理，令y=0可求得x的值，则可求得A、B的坐标；
（2）由A、B、C的坐标，可求得经过点A、B、C的抛物线解析式，连接BC、过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，则可设出P点坐标，从而表示出Q点坐标，则可求得PQ的长，从而用P点坐标表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得P点坐标和△PBC面积的最大值．
解答 
解：
（1）∵y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），且m≠0，
∴当y=0时，可得m（x-3）（x+1）=0，解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线C1解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$，
如图，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
设直线BC解析式为y=kx+s，则有$\left\{\begin{array}{l}{3k+s=0}\\{s=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{s=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
设P（x，$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$），则Q（x，$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$），
∴PQ=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x，
∴S△PBC=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x）×3=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{27}{16}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，S△PBC有最大值，S最大=$\frac{27}{16}$，
$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$）2-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{15}{8}$，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{8}$）．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及一元二次方程、待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想的应用等知识．在（1）中把抛物线解析式因式分解可求得A、B的坐标，在（2）中求得抛物线C1的解析式，用P点的坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
阅读快车系列答案
如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=8，E是AB上一点，沿DE折叠使A落在DB上，求AE的长．
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是高AD和BE的交点，∠CAD=30°，CD=4，求线段BF的长．
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，如果用（1，0）表示C点的位置，用（4，1）表示B点的位置，那么．