Question

14．在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A，点O是坐标原点，OA=2且OA与x轴的夹角是60°．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AC⊥x轴于点C，在Rt△AOC中，解直角三角形求得A点坐标为（1，$\sqrt{3}$），把A（1，$\sqrt{3}$）分别代入代入y=$\frac{k}{x}$，根据待定系数法即可求得；
（2）作BD⊥x轴于点D，在Rt△BOD中，解直角三角形求得B点坐标为（$\sqrt{3}$，1），把x=$\sqrt{3}$代入代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，即可判断．

解答 解：（1）作AC⊥x轴于点C，如图，
在Rt△AOC中，
∵OA=2，∠AOC=60°，
∴∠OAC=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=1，AC=$\sqrt{3}$OC=$\sqrt{3}$，
∴A点坐标为（1，$\sqrt{3}$），
把A（1，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
得k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{{\sqrt{3}}}{x}$；
（2）点B在此反比例函数的图象上，
理由如下：过点B作x轴的垂线交x轴于点D，
∵线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOD=30°，
在Rt△BOD中，BD=$\frac{1}{2}$OB=1，OD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$，
∴B点坐标为（$\sqrt{3}$，1），
∵当x=$\sqrt{3}$时，y=$\frac{{\sqrt{3}}}{x}$=1，
∴点B（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数y=$\frac{{\sqrt{3}}}{x}$的图象上．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，也考查了待定系数法求函数解析式．