Question

18．如图，已知一次函数y=-x+4与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）．
（1）当这两个函数图象有两个公共点时，求最大的整数k．
（2）利用（1）中所求k值，借助函数图象求不等式：x+$\frac{k}{x}$＜4的解集．
（3）若已知的一次函数与反比例函数的图象交于点E、F，且EF=5$\sqrt{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，由题意△＞0列出不等式即可解决问题．
（2）画出函数y=-x+4与y=$\frac{3}{x}$的图象，如图1所示，可知它们的交点坐标为A（1，3），B（3，1），x+$\frac{k}{x}$＜4的解集，即$\frac{k}{x}$＜-x+4的解集，由图象可知反比例函数图象在直线的下方部分对应的自变量的取值范围，即可解集．
（3）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，推出x₁+x₂=4，x₁x₂=k，y₁+y₂=4，y₁y₂=k，（x₁-x₂）²=（y₁-y₂）²=16-4k，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，
由题意△＞0，
∴16-4k＞0，
∴k＜4，
∴最大的整数k为3．

（2）画出函数y=-x+4与y=$\frac{3}{x}$的图象，如图1所示，可知它们的交点坐标为A（1，3），B（3，1），

x+$\frac{k}{x}$＜4的解集，即$\frac{k}{x}$＜-x+4的解集，由图象可知$\frac{k}{x}$＜-x+4的解集为1＜x＜3．

（3）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=k，y₁+y₂=4，y₁y₂=k，
∴（x₁-x₂）²=（y₁-y₂）²=16-4k，
∵EF=5$\sqrt{2}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=50，
∴32-8k=50，
∴k=-$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、一元一次不等式、二元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．