Question

19．已知，D是正△ABC外接圆的弧BC上一点，求证：AD=BD+CD．

Answer 1

分析 如图，在AD上截取DE=BD，连接BE，证得△BDE是等边三角形，得到BE=BD，∠BED=60°，由三角形的外角的性质得到∠AEB=∠BDC=120°，证得△ABE≌△BCD，根据全等三角形的性质得到AE=CD，等量代换即可得到结论．

解答 解：如图，在AD上截取DE=BD，连接BE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠BED=60°，
∴∠AEB=∠BDC=120°，
在△ABE与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠BCD}\\{∠AEB=∠BDC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴AE=CD，
∴AD=AE+DE=CD+BD．

点评 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．