题目内容
19．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B，其对称轴是x=-1，点C是y轴上一点，其纵坐标为m，连结AC，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，以AC、AD为边作正方形ACED．（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当点E落在抛物线y=ax2+bx+2上时，求此时m的值；
（3）令抛物线与x轴另一交点为点F，连结BF，直接写出正方形ACED的一边与BF平行时的m的值．
分析 （1）依据二次函数的对称性可求得抛物线与x轴的令一个交点的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+3），将（0，2）代入求得a的值即可；
（2）过点E作EF⊥y轴，垂足为E，首先证明∴△ECE≌△OAC，依据全等三角形的性质得到BC=OA=1，EF=OC=m，故此可得到点E的坐标，最后将点E的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（3）先求得直线BF的解析式，当CE∥BF时，AC⊥BF，设AC的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+m，将点A的坐标代入可求得m的值；当AC∥BF时，设直线AC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+m，将点A的坐标代入可求得m的值．
解答 解：（1）将x=0代入抛物线的解析式得：y=2，
∴B（0，2）．
∵A（1，0），抛物线的对称轴是x=-1，
∴抛物线经过点（-3，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+3），将（0，2）代入得：-3a=2，解得：a=-$\frac{2}{3}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x2-$\frac{4}{3}$x+2．
（2）过点E作EF⊥y轴，垂足为E．
∵ACED为正方形，
∴∠ACE=90°，CE=AC．
∴∠FCE+∠ACO=90°．
又∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠FCE=∠OAC．
在△FCE和△OAC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FCE=∠OAC}\\{∠EFC=∠COA}\\{EC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ECE≌△OAC．
∴BC=OA=1，EF=OC=m．
∴点E的坐标为（m，1+m）．
将点E的坐标代入抛物线的解析式得：-$\frac{2}{3}$m2-$\frac{4}{3}$m+2=m+1，整理得：2m2+7m-3=0，解得：m=$\frac{-7±\sqrt{73}}{4}$．
（3）如图2所示：当CE∥BF时．
设BF的解析式为y=kx+2，将点F的坐标代入得：-3k+2=0，解得k=$\frac{2}{3}$，
∴BF的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+2．
∵CE∥BF，AC⊥CE，
∴AC⊥BF．
设AC的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+m．
将点A的坐标代入得：-$\frac{3}{2}$+m=0，解得：m=$\frac{3}{2}$．
如图3所示：AC∥BF时．
设直线AC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+m，将点A的坐标代入得：$\frac{2}{3}$+m=0，解得：m=-$\frac{2}{3}$．
综上所述，m的值为$\frac{3}{2}$或-$\frac{2}{3}$．
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、全等三角形的性质和判定，掌握相互平行的直线的特点、相互垂直的直线的特点是解题的关键．
如图，请在小正方形边长为1的正方形网格中，画出两个相似比为1：$\sqrt{2}$的相似三角形△ABC∽△DEF．| A． | 1cm、2cm、3cm | B． | 3cm、4cm、5cm | C． | 4cm、9cm、3cm | D． | 2cm、1cm、4cm |
| A． | -3与$-\frac{1}{3}$ | B． | -3与$-\sqrt{9}$ | C． | -3与$\root{3}{-27}$ | D． | |-3|与-3 |