Question

14．在△ABC中，AB=BC，D为AB上任一点，过点D作DE∥BC交AC于F，且DE=BC，连接BE．

（1）如图1，当∠ABC=90°，完成以下问题：
①若AB=8，AD=2时，求BE的长．
②取AF的中点G，连接BG、FG，问△BGE是否为等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（2）如图2，当∠ABC=120°，作AG∥BC，且AG=AD，连接BG、EG，试问△BGE的形状是否发生改变？若改变，请指出此时三角形的形状，并证明；若不改变请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由已知条件得出DE=BC=AB=8，BD=AB-AD=6，∠BDE=90°，由勾股定理求出BE即可；
②连接DG，由△ABC是等腰直角三角形得出△ADF是等腰直角三角形，得出∠AFD=∠A=45°，得出∠GFE=135°，由SAS证明△ABG≌△DEG，得出BG=EG，∠1=∠2，由AAS证明△BDG≌△EFG，得出对应角相等∠BGD=∠EGF，得出∠BGE=∠DGF=90°，即可得出结论；
（2）连接GF、DG，先证明△ADG是等边三角形，得出DG=AD，再证明四边形ADFG是菱形，得出GF=DF=AD=DG，∠EFG=∠ADF=120°，由SAS证明△BDG≌△EFG，得出BG=EG，∠BGD=∠EGF，证出∠BGE=∠DGF=60°，即可得出结论．

解答 解：（1）①∵AB=BC，DE=BC，
∴DE=BC=AB=8，
∵AD=2，
∴BD=AB-AD=6，
∵DE∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=90°，
∴∠BDE=90°，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
②△BGE是等腰直角三角形；理由如下：
连接DG，如图1所示：
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴∠GFE=135°，
∵G是AF的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$AF=AG=FG，∠GDF=45°，∠DGF=90°，
∴∠A=∠GDF，
在△ABG和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}&{\;}\\{∠A=∠GDF}&{\;}\\{AG=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DEG（SAS），
∴BG=EG，∠1=∠2，
∵∠BDG=90°+45°=135°，
∴∠BDG=∠GFE，
在△BDG和△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{∠BDG=∠GFE}&{\;}\\{BG=EG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△EFG（AAS），
∴∠BGD=∠EGF，
∴∠BGE=∠DGF=90°，
即△BGE是等腰直角三角形；
（2）△BGE的形状是发生改变，此时△BGE是等边三角形；理由如下：
连接GF、DG，如图2所示：
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∵AG∥BC，
∴∠BAG=180°-∠ABC=60°，∠ADF=∠ABC=120°，∠AFD=∠BCA=30°，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AD=FD，
∵AG=AD，
∴AG=FD，
∴△ADG是等边三角形，四边形ADFG是平行四边形，DG=AD，
∴四边形ADFG是菱形，
∴GF=DF=AD=DG，∠EFG=∠ADF=120°，
∴∠DGF=∠FDG=60°，BD=EF，
∴∠BDG=60°+60°=120°，
∴∠BDG=∠EFG，
在△BDG和△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=EF}&{\;}\\{∠BGD=∠EFG}&{\;}\\{DG=FG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△EFG（SAS），
∴BG=EG，∠BGD=∠EGF，
∴∠BGE=∠DGF=60°，
∴△BGE是等边三角形．

点评 本题是相似形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线多次证明三角形全等才能得出结论．