Question

1．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，将矩形沿AE折叠，使B落到B′的位置，并且B′E与对角线BD垂直．
（1）证明：∠B′AD=∠ADB；
（2）判断△AEF的形状，并说明理由；
（3）若AB=2，求EF的长度．

Answer 1

分析 （1）由B′E⊥BD，∠B′=∠ABC=90°，证得AB′∥BD，即可得出结论；
（2）由四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠FAE=∠AEB，由对折可知∠AEB=∠AEB′，从而得出∠FAE=∠AEB′，即可得出△AEF是等腰三角形；
（3）证出△AB′F∽△DAB，得出$\frac{AB′}{B′F}$=$\frac{AD}{AB}$，求出B′F的值，由勾股定理求得AF的值，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
由题意得：B′E⊥BD，∠B′=∠ABC=90°，
∴AB′∥BD，
∴∠B′AD=∠ADB；
（2）解：△AEF是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
由折叠的性质得：∠AEB=∠AEB′，
∴∠FAE=∠AEB′，
∴△AEF是等腰三角形；
（3）解：∵∠B′=∠BAD=90°，∠B′AD=∠ADB，
∴△AB′F∽△DAB，
∴$\frac{AB′}{B′F}$=$\frac{AD}{AB}$，
而AB′=AB=2，AD=2AB=4，
∴B′F=$\frac{AB′•AB}{AD}$=$\frac{2×2}{4}$=1，
由勾股定理得：AF²=AB′²+B′F²，
即AF²=2²+1²=5
∴AF=$\sqrt{5}$，
由（2）可知，EF=AF，
∴EF=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过证明三角形相似和运用勾股定理才能得出结果．