Question

6．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据平行线的性质可得∠EDF=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求得∠F=30°，然后证得△EDB是等边三角形，从而求得ED=DB=2-x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AC，
∴∠EDF=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°；
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDB是等边三角形．
∴ED=DB=2-x，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴EF=$\sqrt{3}$ED=$\sqrt{3}$（2-x）．
∴y=$\frac{1}{2}$ED•EF=$\frac{1}{2}$（2-x）•$\sqrt{3}$（2-x），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²，（x＜2），
故选A．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等．