Question

20．如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图，从地面A处放飞的风筝几分钟后飞至C处，此时，点B与旗杆PQ的顶部点P以及点C恰好在一直线上，PQ⊥AB于点Q．
（1）已知旗杆的高为10米，在B处测得旗杆顶部点P的仰角为30°，在A处测得点P的仰角为45°，求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处测得风筝C的仰角为75°，设绳子AC在空中为一条线段，求AC的长．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）在RT△BPQ中利用tanB=$\frac{PQ}{BQ}$求出BQ，在RT△APQ中根据等腰直角三角形性质求出AQ即可．
（2）如图作AE⊥BC于E，在RT△ABE中求出AE，在RT△AEC中求出AC即可．

解答 解：（1）∵PQ⊥AB，
∴∠BQP=∠AQP=90°，
在RT△BPQ中，∵PQ=10，∠BQP=90°，∠B=30°，
∵tanB=$\frac{PQ}{BQ}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10}{BQ}$，
∴BQ=10$\sqrt{3}$，
在RT△APQ中，$∠\\;AQP=90°$，∠PAB=45°，
∴APQ=90°-∠PAB=45°，AQ=PQ=10，
∴AB=BQ+AQ=10$\sqrt{3}$+10．
答：A、B之间的距离为（10$\sqrt{3}$+10）米．
（2）如图作AE⊥BC于E．

在RT△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=30°，AB=10$\sqrt{3}$+10，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=5$\sqrt{3}$+5，
∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴∠C=45°，
在RT△CAE中，sinC=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}+5}{AC}$，
∴AC=$\sqrt{2}$（5$\sqrt{3}$+5）=5$\sqrt{6}$+5$\sqrt{2}$，
答：AC的长为（5$\sqrt{6}$+5$\sqrt{2}$）米．

点评 本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是理解仰角、俯角的概念，学会添加辅助线构造构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．