Question

4．在平面直角坐标系中，给出如下定义：形如y=（x-m）（x-m+1）与y=（x-m）（x-m-1）的两个二次函数的图象叫做兄弟抛物线．
（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式．
（2）若二次函数y=x²-x（图象如图）与y=x²-bx+2的图象是兄弟抛物线．
①求b的值．
②若直线y=k与这对兄弟抛物线有四个交点，从左往右依次为A，B，C，D四个点，若点B，点C为线段AD三等分点，求线段BC的长．

Answer 1

分析 （1）将m=0代入y=（x-m）（x-m+1）与y=（x-m）（x-m-1），即可得到一对兄弟抛物线；
（2）①y=x²-x=x（x-1）．分两种情况讨论：
情况一：若y=x（x-1）是形如y=（x-m）（x-m+1），求出m=1，得到另一个函数解析式，进而得出b的值；
情况二：若y=x（x-1）是形如y=（x-m）（x-m-1），同理求解；
②根据平移的规律可知，y=x²-3x+2的图象可以看作是由y=x²-x的图象向右平移1个单位得到，分两种情况：如果k＞0，则点A与点B是平移对应点，AB=1，再根据三等分点的定义即可求解；如果k＜0，则点A与点C是平移对应点，AC=1，同理求解即可．

解答 解：（1）当m=0时，得到一对兄弟抛物线，
y=x（x+1）与y=x（x-1）；

（2）①y=x²-x=x（x-1）．
情况一：若y=x（x-1）是形如y=（x-m）（x-m+1），则m=1，则另一个函数为y=（x-1）（x-2），即y=x²-3x+2，b=3．
情况二：若y=x（x-1）是形如y=（x-m）（x-m-1），则m=0，则另一个函数为y=x（x-1），即y=x²-x，与已知矛盾．
②y=x²-3x+2的图象可以看作是由y=x²-x的图象向右平移1个单位得到，如图．
如果k＞0，则点A与点B是平移对应点，AB=1，
∵点B，点C为线段AD三等分点，
∴AB=BC=CD=$\frac{1}{3}$AD=1，即BC=1；
如果k＜0，则点A与点C是平移对应点，AC=1，
∵点B，点C为线段AD三等分点，
∴AB=BC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，即BC=$\frac{1}{2}$．
故线段BC的长为1或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了解析式平移规律，线段三等分点定义，考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，弄清兄弟抛物线的定义，进行分类讨论是解题的关键．