Question

13．如图所示，D是以AB为直径的半圆O上的一点，C是弧AD的中点，点M在AB上，AD与CM交于点N，CN=AN．
（1）求证：CM⊥AB；
（2）若AC=$2\sqrt{3}$；，BD=2，求半圆的直径．

Answer 1

分析 （1）连接BC，根据圆周角定理和三角形相似即可得到结论．
（2）连接CD，作CE⊥BD，交BD的延长线于E，通过△CMB≌△CEB，得到ED=AM，根据射影定理即可求出结论．

解答 （1）证明：如图1，连接BC，则∠ACB=90°，
∵CN=AN，
∴∠NCA=∠NAC，
∴∠MCA=∠DAC，
∵C是弧AD的中点，
∴∠ABC=∠DAC，
∴∠MCA=∠ABC，
∵∠CAB=∠BAC，
∴△ABC∽△ACM，
∴∠AMC=90°，
∴CM⊥AB；

（2）解：如图2，连接CD，作CE⊥BD，交BD的延长线于E，
在△CMB与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBC=∠CBE}\\{∠CMB=∠CEB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CMB≌△CEB，
∴BM=BE，CM=CE，
∵C是弧AD的中点，
∴AC=CD，
在R_t△ACM与R_t△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{CM=CE}\end{array}\right.$，
∴R_t△ACM≌R_t△CED，
∴AM=DE，
设AM=x，则BM=BE=BD+DE=2+x，
∴AB=AM+BM=2+2x，
∵∠ACB=∠AMC=90°，
∴AC²=AM•AB，
∴12=x（2+2x），
解得：x=2，
∴AB=6．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，射影定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．