Question

2．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一个动点，若S_△PAB=32，求出此时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，列出b和c的二元一次方程组，求出b和c的值即可；
（2）把y=x²-4x-12化成顶点坐标式为y=（x-2）²-16，进而求出对称轴以及顶点坐标；
（3）先求出AB的长，利用三角形的面积公式求出P的纵坐标，进而求出P点的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，
∴方程x²+bx+c=0的两根为x=-2或x=6，
∴-2+6=-b，
-2×6=c，
∴b=-4，c=-12，
∴二次函数解析式是y=x²-4x-12．

（2）∵y=x²-4x-12=（x-2）²-16，
∴抛物线的对称轴x=2，顶点坐标（2，-16）．

（3）设P的纵坐标为|y_P|，
∵S_△PAB=32，
∴$\frac{1}{2}$AB•|y_P|=32，
∵AB=6+2=8，
∴|y_P|=8，
∴y_P=±8，
把y_P=8代入解析式得，8=x²-4x-12，
解得，x=2±2$\sqrt{6}$，
把y_P=-8代入解析式得，-8=x²-4x-12，
解得x=2±2$\sqrt{2}$，
又知点P为y轴右侧抛物线上一个动点，
即x=2±2$\sqrt{6}$（负值舍去）或x=2±2$\sqrt{2}$（负值舍去），
综上点P的坐标为（2+2$\sqrt{6}$，8）或（2+2$\sqrt{2}$，-8）．

点评 此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．