Question

如图1：在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠BAE=∠FAE．
（1）指出线段AF、BC、FC之间有什么关系，证明你的结论．
（2）设AB=12，求线段FC的长．
（3）如图2：过AE中点G的直线分别交AB、CD于P、Q；求

PG

QG

的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）过E作EM⊥AF交AF于点M，则可证明△ABE≌△AME，△EMF≌△ECF，可得出结论；
（2）设FC=x，借助（1）的结论可得出AF=12+x，DF=12-x，在Rt△ADF中由勾股定理得出方程求解即可；
（3）过G作BC的平行线RS，由条件可得出RG=

1

4

BC，SG=

3

4

BC，再由平行线分线段成比例可求出

PG

QG

的值．

解答：解：（1）AF=BC+FC，证明如下：
如图1，过E作EM⊥AF交AF于点M，

∵∠BAE=∠FAE，
∴BE=ME，
在Rt△ABE和Rt△AME中，

AE=AE BE=ME

，
∴Rt△ABE≌Rt△AME（HL），
∴AM=AB=BC，ME=BE=EC，
在Rt△MFE和Rt△CFE中，

EF=EF ME=CE

，
∴Rt△MFE≌Rt△CFE（HL），
∴MF=FC，
∴AF=AM+MF=BC+FC；
（2）设FC=x，由（1）可知MF=x，AM=AD=AB=12，则DF=12-x，AF=12+x，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得：AD²+DF²=AF²，
即12²+（12-x）²=（12+x）²，解得x=3，
即FC=3；
（3）如图2，过G作RS∥BC，交AB于点R，交CD于点S，

∵G为AE中点，
∴R为AB中点，
∴RG=

1

2

BE=

1

4

BC，GS=RS-RG=BC-RG=BC-

1

4

BC=

3

4

BC，
∵AB∥CD，
∴

PG

QG

=

RG

SG

=

1 4 BC

3 4 BC

=

1

3

．

点评：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的综合应用，在（1）中构造三角形全等找到线段之间的关系是解题的关键，在（3）中过G作平行线把

PG

QG

的值转化成

RG

SG

是解题的关键．