Question

如图，△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC的中垂线DE于D，E为垂足，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM=CN．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：因为ED是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．

解答：证明：连接BD，CD，如图，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BMD和Rt△CND中，

BD=CD DM=DN

，
∴Rt△BMD≌Rt△CND（HL），
∴BM=CN．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．