Question

15．如图，将一块含30°角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA=4，则图中阴影部分的面积为$\frac{16π}{3}$+2$\sqrt{3}$．（结果保留π）

Answer 1

分析 求出OC=$\frac{1}{2}$OB=2，BC=2$\sqrt{3}$，图中阴影部分的面积=扇形BOD的面积+△BOC的面积．

解答 解：如图所示：
∵斜边与半圆相切，点B是切点，
∴∠EBO=90°．
又∵∠E=30°，
∴∠EBC=60°．
∴∠BOD=120°，
∵OA=OB=4，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=2，BC=2$\sqrt{3}$．
∴S_阴影=S_扇形BOD+S_△BOC=$\frac{120π×{4}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\frac{16π}{3}$+2$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{16π}{3}$+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，扇形面积的计算．此题利用了“分割法”求得阴影部分的面积．