Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC²=x²+12²，在Rt△ABC中，BC²=（x+16）²-20²，可得x²+12²=（x+16）²-20²，解方程即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠ADE=∠A．

（2）连接CD．
∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED=EC，
∴AE=EC，
∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12，
设BD=x，在Rt△BDC中，BC²=x²+12²，在Rt△ABC中，BC²=（x+16）²-20²，
∴x²+12²=（x+16）²-20²，
解得x=9，
∴BC=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15．

点评 本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．