Question

6．如图，矩形ABCD中，点P为AB边上一点，DP交AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）当PD⊥AC，AD=3，AC=6时，求线段AQ的长度．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到CD∥AB，根据平行线的性质得到∠PAQ=∠DCQ，∠APQ=∠CDQ，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠PAQ=∠DCQ，∠APQ=∠CDQ，
∴△APQ∽△CDQ；
（2）解：∵PD⊥AC，∠ADC=90°，
∴AD²=AQ•AC，
∴AQ=$\frac{{3}^{2}}{6}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的性质、矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理和判定定理是解题的关键．