Question

1．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P是x轴上的一动点，试确定点P的坐标，使PA+PB最小；
（3）直线y=nx与线段AB有交点，直接写出n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A坐标代入y=$\frac{m}{x}$即可解决问题．
（2）如图1中，由题意B（4，1），作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P，此时PA+PB最小，求出直线BA′的解析式，即可解决问题．
（3）分别求出直线y=nx经过点A、B时的n的值，即可解决问题．

解答 解：（1）∵点A（1，4）在y=$\frac{m}{x}$时，
∴m=4．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$．

（2）如图1中，由题意B（4，1），作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P，此时PA+PB最小．

∵A′（1，-4），B（4，1），
设直线BA′的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=-\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BA′的解析式为y=$\frac{5}{3}$x-$\frac{17}{3}$，
令y=0，得x=$\frac{17}{5}$，
∴点P坐标（$\frac{17}{5}$，0）．

（3）直线y=nx经过A（1，4）时，n=4，
直线y=nx经过B（4，1）时，n=$\frac{1}{4}$，
∴直线y=nx与线段AB有交点时，n的取值范围为$\frac{1}{4}$≤n≤4．

点评 本题考查反比例函数综合题、两点之间线段最短、一次函数等知识，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，灵活运用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．