Question

15．小叶从计算中得到这样的结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．设BC=a，AC=b，AB=c，CD=h，则有等式$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$成立．请你判断小叶的结论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请说明理由．

Answer 1

分析 根据三角形面积公式和比例的性质求出$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，根据勾股定理得出a²+b²=c²，即可得出答案．

解答 正确，
证明：∵由三角形面积公式得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ch，
∴ab=ch，
即a²b²=c²h²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{1}{{c}^{2}{h}^{2}}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$
由勾股定理得：a²+b²=c²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，
即小叶的结论正确．

点评 本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．