Question

16．如图，⊙O与直线l相离，OA⊥l于点A，OA交⊙O于点C，过点A作⊙O的切线AB，切点为B，连接BC交直线l于点D
（1）求证：AB=AD；
（2）若tan∠OCB=2，⊙O的半径为3，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，利用切线的性质以及等腰三角形的性质证明∠ADB=∠ABD，利用等角对等边证得；
（2）设AC=a，则AB=AD=2a，在Rt△AOB中利用勾股定理即可列方程求得a的值，进而求得BD的长．

解答 解：（1）证明：连接OB．
∵AB是⊙O的切线，OA⊥l，
∴∠OBA=∠OAD=90°，
又OB=OC，
∴∠OBC=∠COB=∠ACD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD；

（2）∵tan∠OCB=tan∠ACD=$\frac{AD}{AC}$=2，⊙O的半径是3，
设AC=a，则AB=AD=2a，
在Rt△AOB中，OA²=AB²+OB²，
∴（a+3）²=（2a）²+3²，
∴a=2．
过点A作AE⊥BD，设AE=x，DE=2x，则5x²=16，x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=BE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．