Question

如图，A、B分别是x轴正半轴上和y轴正半轴上的点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过点C．
（1）若点C坐标为（2，3），求k的值；
（2）若A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）
①求k的值；
②证明点D也在该反比例函数的图象上；
（3）若C、D两点都在函数y=

2

x

的图象上，求点C的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求反比例函数解析式中k的值即可；
（2）①首先求出直线AB的解析式进而得出直线BC的解析式利用勾股定理得出交点坐标即可得出k的值；
②由题意可得出，直线AD的解析式为：y=x-2，进而得出D点坐标，利用函数图象上点的坐标性质得出即可；
（3）根据全等三角形的判定与性质得出C，D两点横纵坐标特点，可得C点坐标．

解答：解：（1）∵点C坐标为（2，3），反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过点C，
∴k=2×3=6；

（2）①∵A，B两点坐标分别A（2，0），B（0，2），
∴BO=2，AO=2，
∴AB=2

2

，
设直线AB的解析式为：y=sx+b，
则

2s+b=0 b=2

，
解得：

s=-1 b=2

，
∴直线AB的解析式为：y=-x+2，
∵直线BC⊥AB，
∴直线BC的解析式为：y=x+2，
设C﹙a，b﹚则：

b=a+2 a2+(b-2)2=(2 2 )2

，
解得：

a=2 b=4

，
∴k=ab=8，
反比例函数为：y=

8

x

；
②由题意可得出：直线AD的解析式为：y=x-2，
设D﹙x，y﹚则：

y=x-2 (x-2)2+y2=(2 2 )2

，
解得：

x=4 y=2

，
∴D﹙4，2﹚，
∴D点在反比例函数y=

8

x

的图象上；

（3）过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△BCE和△ABO中

∠1=∠3 ∠CEB=∠AOB BC=AB

，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴AO=BE，BO=EC，
同理可得出：△DAF≌△ABO，
∴AO=DF=BE，AF=BO=EC，
设C点坐标为：（a，a+b），则D（a+b，b），
∵C、D两点都在函数y=

2

x

的图象上，
∴a（a+b）=（a+b）b，
∴a=b，
∴C﹙a，2a﹚D﹙2a，a﹚，
∴2a²=2，
解得：a=1，
∴点C的坐标为：C﹙1，2﹚．

点评：此题主要考查了反比例函数综合以及全等三角形的判定与性质以及待定系数法求正比例函数解析式等知识，得出C，D点横纵坐标特点是解题关键．