Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-2与x轴的交点B及与y轴的交点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标及四边形OBMC的面积．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）先根据坐标轴上点的坐标特征确定B（2，0），C（0，-2），然后利用待定系数法确定二次函数解析式；
（2）把（1）的解析式y=x²-x-2配成顶点式得y=（x-

1

2

）²-

9

4

，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标；
（3）由于△OBC为等腰直角三角形，而OM⊥BC，则OM的解析式为y=-x，可设M（x，-x），把它代入二次函数解析式得x²-x-2=-x，解得x₁=

2

，x₂=

2

．则M点坐标为（

2

，-

2

），然后计算出OM=2，BC=2

2

，
再利用三角形面积公式计算四边形OBMC的面积．

解答：解：（1）把y=0代入y=x-2得x-2=0，解得x=2，则B点坐标为（2，0）；
把x=0代入y=x-2得y=-2，则C点坐标为（0，-2），
根据题意得

a-b+c=0 4a+2b+c=0 c=-2

，解得

a=1 b=-1 c=-2.

，
所以所求抛物线的解析式是y=x²-x-2；
（2）y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
所以抛物线的顶点坐标为（

1

2

，-

9

4

）；
（3）∵OC=OB，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OM的解析式为y=-x，
设M（x，-x），
∵点M在抛物线上，
∴x²-x-2=-x，
解得x₁=

2

，x₂=

2

．
∵点M在第四象限，
∴M点坐标为（

2

，-

2

），
∴OM=2，BC=2

2

，
∴四边形OBMC的面积=

1

2

OM•BC=

1

2

•2•2

2

=2

2

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．