Question

1．若k=4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ，并且k是一个完全平方数，则正整数n=506或2000．

Answer 1

分析 本题分两种情况讨论n的取值．把4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ化简为完全平方式的形式，根据化简后的式子得出n．

解答 解：（1）4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ
=（2⁷）²+2•2⁷•2^2n-8+（2¹⁰⁰⁴）²
∵4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ是一个完全平方数．
∴2^2n-8=2¹⁰⁰⁴，
即2n-8=1004．
∴当n=506时，4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ是完全平方数；
（2）4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ=（2⁷）²+2•2⁷•2²⁰⁰⁰+（2ⁿ）²，
∵4⁷+4¹⁰⁰⁴+4ⁿ是一个完全平方数．
∴2²⁰⁰⁰=2ⁿ，
∴n=2000．
综上得n=506或2000．
故答案为：506，2000．

点评 本题考查了完全平方数的概念，如果一个数是一个完全平方数，那么一定可以表示为一个数的平方．