Question

12．在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°．
（1）如图1，若AB=5$\sqrt{2}$，求BC的长；
（2）点D是CB边的延长线上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，如图2，当点E恰在AC边上时，计算CE与BD的关系数量．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABD中，求出AD、BD，再在Rt△ADC中求出CD即可解决问题．
（2）结论：CE=（$\sqrt{3}$-1）BD．如图2中，作AF⊥BC于F，设AC=a．想办法用a表示线段BD，CE即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5，
∵∠C=60°，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴BC=BD+CD=5$+\frac{5\sqrt{3}}{3}$；

（2）结论：CE=（$\sqrt{3}$-1）BD．
理由：如图2中，作AF⊥BC于F，设AC=a．

在Rt△ADC中，∵∠DAC=90°，∠D=30°，
∴DC=2a，AD=AE=$\sqrt{3}$a，
在Rt△AFC中，∵∠FAC=90°，∠FAC=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△ABF中，∵∠ABF=∠BAF=45°，
∴BF=AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴DB=CD-BF-CF=a，
∵CE=AE-AC=（$\sqrt{3}$-1）a，
∴CE=（$\sqrt{3}$-1）BD．

点评 本题考查旋转变换、解直角三角直角三角形30°角性质等知识，解题的关键是记住30°的直角三角形的三边之比为1：$\sqrt{3}$：2，45°是直角三角形的三边之比为1：1：$\sqrt{2}$，属于中考常考题型．