题目内容
14．
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=$\frac{1}{3}{x^2}$+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=$\frac{8}{x}$有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是-6．（1）求二次函数的解析式；
（2）求直线AC的表达式；
（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．
分析 （1）先求得点A与点B的坐标，然后依据待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）先求得抛物线的对称轴为x=-1，依据点B与点C关于x=-1对称，可求得点C的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AC的解析式；
（3）①当CD∥AB时，AC=BC，故点D不存在；②如图1所示：当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D1点，依据点A与D1关于x=-1对称可求得点D1的坐标；③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D2E⊥AC．先依据AAS证明△AMC≌△CBF，从而可求得AF=CE=4，于是得到D2B=2，然后再证明BHD2∽△AMC，从而可求得BH=$\frac{6}{5}$，HD2=$\frac{8}{5}$，于是可求得点D2的坐标．
解答 解：（1）∵将x=4代入y=$\frac{8}{x}$得：y=2，
∴B（4，2）．
∵点A在y轴上，且直线AC在y轴上的截距是-6，
∴A（0，-6）．
∵将B（4，2）、A（0，-6）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{\frac{16}{3}+4b+c=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2}{3}}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}{x}^{2}$+$\frac{2}{3}x$-6．
（2）∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}×2}$=-1．
∴点B关于x=-1的对称点C的坐标为（-6，2）．
设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵将点A（0，-6）、C（-6，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{-6k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{4}{3}$，b=-6，
∴直线AC的解析式为y=$-\frac{4}{3}x$-6．
（3）①∵B（4，2）C（-6，2），
∴BC=10．
∵A（0，-6）、C（-6，2），
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∴AC=BC．
∴当CD∥AB时，不存在点D使得四边形A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形．
②如图1所示：
当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D1点，A与D1关于x=-1对称，
∴D1（-2，-6）．
③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D2E⊥AC．
∵CB∥AM，
∴∠BCA=∠CAM．
在△AMC和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCA=∠CAM}\\{∠AMC=∠BFC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△CBF．
∴CF=AM=6．
∴AF=4．
∵梯形ABD2C是等腰梯形，
∴CE=AF=4．
∴D2B=EF=2．
∵BD2∥AC，
∴∠D2BH=∠BCA．
∵∠BCA=∠CAM，
∴∠D2BH=∠CAM．
又∵∠M=∠D2HB，
∴BHD2∽△AMC．
∴$\frac{{D}_{2}H}{HB}=\frac{4}{3}$．
∵BD2=2，
∴BH=$\frac{6}{5}$，HD2=$\frac{8}{5}$，
∴D2（$\frac{14}{5}$，$\frac{18}{5}$）．
综上所述，点D的坐标为（-2，-6）或D2（$\frac{14}{5}$，$\frac{18}{5}$）．
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、等腰梯形的性质，求得BD2=2是解题的关键．
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