Question

6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，AD=9，AC=12，BC=16，点E是边BC上以点，且∠EAF=∠BAC，AF交CD于点F，交BC延长线于点G，求证：$\frac{BE}{FC}=\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 通过△ABC∽△DCA，则有∠B=∠ACD，由∠EAF=∠BAC可得∠BAE=∠CAF，从而得到△ABE∽△ACF，然后根据相似三角形的性质即可解决问题．

解答 解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°．
∵AD=9，AC=12，BC=16，
∴AB=20，DC=15．
∵$\frac{BC}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{4}{3}$，∠DAC=∠ACB，
∴△ABC∽△DCA，
∴∠B=∠ACD．
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{CF}$=$\frac{20}{12}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，证到△ABE∽△ACF是解题的关键．