Question

11．如图，⊙O的半径OD平分弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=6，CE=5，求CD的长．

Answer 1

分析 由OD⊥AB，根据垂径定理得到AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，根据勾股定理求得AE，BE，再利用OC是△ABE的中位线得到OC=$\frac{1}{2}$CE=2，然后根据CD=OD-OC可计算出结果．

解答 解：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵CE=5，BC=4，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{61}$，
在Rt△BCE中，∵BE²=CE²-BC²，
即BE²=5²-3²=16，
∴BE=4，
∵OC是△ABE的中位线，
∴OC=$\frac{1}{2}$BE=2，
∴CD=$\frac{\sqrt{61}}{2}$-2=$\frac{\sqrt{61}-4}{2}$．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．