Question

已知抛物线与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0），且顶点到x轴的距离为3，求抛物线的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：扇形根据点A、B的纵坐标相等，利用抛物线的对称性列式计算可求出抛物线的对称轴，即为顶点的横坐标，在分点P在AB的上方和下方两种情况求出顶点的坐标，再利用顶点式解析式求解即可．

解答：解：（1）∵点A（-2，0）、B（4，0）的纵坐标都是0，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴对称轴方程为直线x=1，
∴顶点的横坐标为1，
当点P在AB的上方时，
∵P到x轴的距离为3，
∴点P的纵坐标为3，
∴点P的坐标为（1，3），
设y=a（x-1）²+3，
则a（-2-1）²+3=0，
解得a=-

1

3

，
抛物线解析式为y=-

1

3

（x-1）²+3；
当点P在AB的下方时，
∵P到x轴的距离为3，
∴点P的纵坐标为-3，
∴点P的坐标为（1，-3），
设y=a（x-1）²-3，
则a（-2-1）²-3=0，
解得a=

1

3

，
抛物线解析式为y=

1

3

（x-1）²-3，
综上所述，此抛物线的解析式y=-

1

3

（x-1）²+3或y=

1

3

（x-1）²-3．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性和待定系数法求二次函数解析式，难点在于（2）分情况求出顶点P的坐标并利用顶点式解析式求解．