Question

9．已知如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，BF恰为⊙O的直径．
①不作辅助线，写出图中相等的线段和能知道度数的角．
②求证：AE与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的性质即可得出CE=BE，∠AEC=∠AEB=90°，
（2）连接OM，可得∠OMB=∠OBM=∠MBE，根据∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°即可证明；

解答 （1）解：∵AB=AC，AE是角平分线，
∴CE=BE，∠AEC=∠AEB=90°；
（2）证明：连接OM，
∵OM=OB，
∴∠OMB=∠OBM，
∵∠OBM=∠MBE，
∴∠OMB=∠OBM=∠MBE
又∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°，
∴∠AMO=90°，
∴AE与⊙O相切．

点评 本题考查了等腰三角形三线合一的性质以及切线的判定，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．